La feria de los animales

Camino de la feria me encontré con siete equilibristas y un oso. Cada equilibrista tenía tres gatos, cada gato, tres ratas, cada rata, dos ratones; todos los ratones tenían nueve pulgas.

Pulgas, ratones, ratas, gatos, siete equilibristas y un oso.

¿Cuántos eran en total los que iban a la feria?

Poesía y matemáticas

Dos son tres, tenlo presente,
tres son cuatro, si los miras
con ojos inteligentes.
Este acertijo examina,
porque catorce son siete
aunque parezca mentira,
cuatro, seis, si usas la mente,
seis son cuatro, ¿lo adivinas?

Einstein y Poincaré

Cuentan de un diálogo entre dos de las figuras más prominentes de la ciencia del siglo XX, poniendo énfasis en una discusión eterna entre la matemática y la física.

Einstein: —¿Sabe usted, Henri?, al principio, yo estudiaba matemática. Pero lo dejé y me dediqué a la física…
Poincaré: —¡Ah!… No lo sabía, Alberto. ¿Y por qué fue?
Einstein: —Bueno, lo que pasaba era que si bien yo podía darme cuenta de cuáles afirmaciones eran verdaderas y cuáles eran falsas, lo que no podía hacer era decidir cuáles eran las importantes….
Poincaré: —Es muy interesante lo que me dice, Alberto, porque, originalmente, yo me había dedicado a la física, pero me cambié al campo de la matemática…
Einstein: —¿¡Ah!, sí? ¿Y por qué?
Poincaré: —Porque si bien yo podía decidir cuáles de las afirmaciones eran importantes y separarlas de las triviales, mi problema… ¡es que nunca podía diferenciar las que eran ciertas!

De compras en la ferretería

Una mujer entra en una ferretería, ve un producto que le interesa y pregunta: "¿Cuánto cuesta uno?."
El vendedor responde "ochenta céntimos de euro".
Entonces ella pregunta: "¿y trece?", a lo que el tendero replica "un euro con sesenta céntimos".
La mujer se decide finalmente y dice "me llevaré ciento treinta y cinco".

"Eso le costará dos euros con cuarenta céntimos".
¿Qué es lo que está comprando la señora?

Arquímedes y la moneda

Un yate navega por un tramo de canal, con las dos esclusas cerradas, muy próximo a la orilla. Uno de los pasajeros, por cierto llamado Arquímedes, arroja una moneda a unos chiquillos pero, desafortunadamente, la moneda cae al agua...

El nivel del agua en el canal ¿sube?, ¿baja? o ¿permanece igual tras el incidente?.

Los cinco hombres

Cinco hombres avanzan a lo largo de un camino. Empieza a llover. Cuatro de ellos apresuran el paso. El quinto no hace ningún esfuerzo por ir más rápido, no obstante permanece seco y llega a su destino a la vez que otros. ¿Cómo pudo ser eso?

Las cadenas y la economía

Tenemos cuatro cadenas de tres eslabones cada una. Tenemos que unir las cuatro y formar con ellas una única cadena cerrada. Abrir un eslabón cuesta 20 céntimos de euro y cerrarlo, 30. Lo conseguimos gastando solamente 1 euro y 50 céntimos. ¿Cómo lo hemos hecho?

Los tres interruptores

Una habitación cerrada tiene únicamente una bombilla para alumbrarse y una puerta, totalmente opaca y sin rendijas que deje entrar o salir la luz. En el exterior de la habitación, junto a la puerta, hay tres interruptores, de los que sabemos que solamente uno de ellos enciende y apaga la bombilla.

Los tres interruptores inicialmente están en la posición de apagado y la puerta cerrada. Podemos dedicar todo el tiempo que queramos a cambiar la posición de cualquier interruptor, pero en el momento en que vayamos a abrir la puerta ya no podemos volver a tocar los interruptores de ninguna forma y con ningún objeto (no valen trampas).

Abrimos la puerta, entramos en la habitación (recordemos que sin ventanas) y al salir tenemos que decir, sin ningún género de dudas, cuál es el interruptor que enciende la bombilla.

Los 45 minutos y las dos velas

¡Venga! ahora uno muy conocido:

Tenemos dos velas totalmente diferentes en cuanto al diámetro, longitud, composición, etc... lo que sí sabemos a ciencia cierta es que cada una de ellas tarda en quemarse totalmente exactamente una hora.

Tenemos también cerillas para encender nuestras velas.

Usando exclusivamente las velas y las cerillas, ¿cómo podremos cronometrar exactamente 45 minutos?

Saludos

Los dos euros de Benito

Abel le prestó a Benito 2 euros, con la condición de que éste le devolvería el cuadrado de esa cantidad pasada una semana.

Transcurridos siete días, cuando Benito iba a efectuar su pago, se vio sorprendido al ver que Abel le reclamaba 400 euros.

¿Por qué reclamaba Abel esa cantidad?

Fibonacci. Episodio V

Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue sin duda LEONARDO DE PISA, más conocido por Fibonacci, que significa "hijo de Bonacci" (filius Bonacci).

Nació en la ciudad de Pisa (hoy perteneciente a ITALIA) hacia 1170/1180, ciudad que por aquél entonces era un gran centro comercial y económico.

A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado de una factoría comercial italiana asentada en Bougie (Argelia) fue allí donde se trasladó con el joven Leonardo hacia 1192 y donde recibió su primera formación matemática, a cargo de maestros musulmanes. Esto despierta en Leonardo la pasión por las Matemáticas, que le acompañaría durante toda su vida.

Desde esa fecha, y hasta 1200 en que vuelve a Pisa recorre Provenza, Sicilia, Grecia, Berbería, Siria y Egipto, en cuyos viajes puede comparar la forma de calcular de las gentes de su tiempo, con la ayuda del ábaco, y la nueva forma transmitida por Al-Jwarizmi del sistema de numeración arábigo compuesto por las nueve cifras y el cero.

Leonardo vuelve a Pisa, hacia 1200, y durante los siguientes veinticinco años trabajó en sus propias composiciones matemáticas. Así en 1202 publica al Liber abaci, del que ha llegado hasta nosotros una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo de la época.

Su talento como matemático se extendió por la Corte, siendo invitado por el Emperador Federico II a participar en un torneo organizado por el emperador. Leonardo resolvió con éxito todos los problemas que le fueron propuestos por Juan de Palermo, filósofo de la corte.

Otras obras de Fibonacci son: Practica Geometriae, publicada hacia 1220, que contiene una extensa colección de geometría y trigonometría; Liber Quadratorum, de 1225, que aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la notación decimal es correcta en nueve dígitos, posiblemente su mejor obra, del que según Targioni existía aun en 1768 una copia en la biblioteca del Hospital de Santa María Novella; y comentó el LIBRO X de los Elementos de Euclides.

No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, (fue el introductor en Europa del sistema de numeración decimal) sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas, interesado en la teoría de números, quién encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci.

Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un único par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos pares contendría el cercado al cabo de un año?.

Mediante una sencilla gráfica podemos observar el crecimiento en el número de pares de conejos, así el primer y segundo mes habría sólo un par de conejos; al finalizar este segundo mes la hembra tendría su primer parto y por lo tanto el tercer mes ya serían dos pares los existentes. El cuarto mes los padres tendrían otra pareja y los hijos todavía no, por lo tanto serían tres los pares. El quinto mes se produciría el primer parto de los hijos y otro más de los padres, con lo que los pares que correteaban por el campo ya serán cinco. A partir de aquí no hay más que seguir el proceso para ir calculando los conejitos durante los siguientes meses.

La sucesión así formada está compuesta, en sus primeros términos, por los números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...

caracterizada porque cada término de la sucesión es suma de los dos anteriores.

Fibonacci no investigó la sucesión, que tampoco recibió ningún estudio serio hasta comienzos del siglo pasado. A partir de esa fecha los artículos dedicados a ella (y éste es prueba de ello) empezaron a proliferar (según un matemático de la época) "como los conejitos de Fibonacci".

La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los aficionados en teoría de números, aun con conocimientos poco más allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber variedad inagotable.

Fibonacci. Episodio IV

Un objeto matemático de indudable interés es el Triángulo de Pascal.

Y su relación con la Sucesión de Fibonacci podemos encontrarla tomando las diagonales del triángulo que van de arriba a la derecha hasta abajo a la izquierda. Para ello resulta muy cómodo construir el triángulo tal cual si de una pirámide de tacos de madera se tratara, e ir coloreando según esa norma de varios colores diferentes. Los números de Fibonacci aparecen al sumar todos los términos de cada diagonal.

En el gráfico se puede apreciar esto: tras colorear el Triángulo de Pascal, e ir sumando, obtenemos los números 1(rojo), 1(negro), 2(azul), 3(verde), 5(rojo), 8, 13, 21, 34...

¿No resulta sorprendente?...

Fibonacci. Episodio III

• La sucesión de las últimas cifras de los números de Fibonacci tiene período 60. Si se toman las dos últimas cifras, la sucesión tiene período 300. Para la sucesión formada a partir de las tres 1.500; para cuatro, el período tiene 15.000 cifras; para cinco el número asciende ya a 150.000, y así sucesivamente.

• Para cada entero m hay una colección infinita de números de Fibonacci exactamente divisibles por m, de los cuales al menos uno se encuentra entre los 2m primeros términos de la sucesión.

• El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente, siendo los divisores números F en sucesión.

• A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que son números compuestos. El primer ejemplo es F₁₉ que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.

• Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el elemento 12, que es 144, muy curioso, pues su valor es el cuadrado del subíndice.

• En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

Día del LIBRO... y de las Matemáticas

Hoy se celebra, al menos en España, el Día del Libro y, pensando sobre ello he caído en la cuenta que se celebra en esta fecha ya que el día 23 de abril y precisamente de 1616 murieron simultáneamente tanto Cervantes como Shakespeare.

Pero, y ahí va la cuestión matemática, curiosamente aunque murieron los dos el día 22 de abril de 1616, no murieron el mismo día.

¿Cómo se explica esto?.

Y ahora con 400 monedas

EDITADO
Tenemos 20 bolsas con 20 monedas cada bolsa. Las monedas son prácticamente iguales en todas sus características, de hecho hay 19 bolsas con todas las monedas exactamente iguales y que pesan 20 gr y 1 bolsa en la que las monedas pesan 19 gr.

Tenemos una báscula cuya precisión es hasta de 1 gr., con lo que nos sirve para distinguir la moneda menos pesada.

De qué manera, y mediante una única pesada podremos saber indudablemente en qué bolsa está la moneda menos pesada.

Solamente con diez monedas

La cuestión es muy simple:

Utilizando diez monedas formar cinco filas de cuatro monedas cada una. (Se entiende por fila cuando estén alineadas en línea recta).

Fibonacci. Episodio II

Vamos con algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci más conocidas:

1. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.
2. En el reino vegetal su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la conocida serie.
3. El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.
4. La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera, F_n²+F_n+1² es F_2n+1. Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.
5. Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C² - B² = A x D.

!Continuará...!

Sobre Fibonacci

He de comenzar reconociendo que Fibonacci es mi debilidad. Una vez dejado esto claro nos metemos en harina.

Resulta muy curioso, y entretenido, el juego conocido como el nim de Fibonacci, consistente en ir retirando cuentas de una pila que inicialmente contiene n fichas. Los jugadores actúan por turno. En la primera jugada no es lícito retirar la pila completa, aunque sí en las sucesivas, siempre que se respeten las siguientes reglas:

1. En cada turno es obligatorio retirar al menos una ficha.
2. Ningún jugador puede retirar más del doble del número de fichas que haya retirado su oponente en el turno anterior.
3. Gana la partida quien retire la última ficha.
   

Si n es un número de Fibonacci, el segundo jugador puede ganar siempre; en cambio si no es así el ganador, si sigue la estrategia correcta, será el primero. Si una partida comienza por ejemplo con 20 fichas (que no es un número de Fibonacci), ¿cuántas debe retirar el primer jugador para asegurarse la victoria?

Descomponemos el número 20 en números de Fibonacci, comenzando por el mayor posible (el 13) sumando después el mayor posible (5) y después el siguiente (2). Así que 20=13+5+2 es la descomposición buscada. Todo número entero puede descomponerse de forma única como una suma de números de Fibonacci; tal descomposición no contendrá nunca números F consecutivos.

El último número, el 2, es el número de cuentas que ha de retirar el primer jugador para ganar. El segundo queda imposibilitado por las reglas a tomar más del doble de 2, por consiguiente no puede reducir la pila (que ahora tiene 18 cuentas) al número F más cercano (el 13).

Supongamos que retire 4; la pila tendrá ahora 14 cuentas, número que se expresa como 14=13+1 en números F, por lo que el primero retirará ahora 1 cuenta. Prosiguiendo con esta estrategia, ganará.

Declaración de intenciones

Este blog trata de aportar su pequeño grano de arena, por una parte, a la divulgación científica, utilizando un lenguaje entendible para los menos iniciados, procurando ejemplos que hagan alcanzar conceptos que "a priori" parecen ser rechazados por gran cantidad de personas y, por otra parte, tratar de hacer lo más entretenida posible la visita, mediante juegos matemáticos, de lógica, de pensamiento lateral... y cuanto se nos ocurra en este sentido.

La periodicidad de las entradas será indeterminada, aunque trataremos de hacerla lo más fluida y dinámica posible.

Esperemos que, poco a poco, se convierta en un sitio donde podamos encontrar lo que en unn "cajón de sastre" en cuanto a temas de divulgación y entretenimiento se refiere.